[2015년 가좌고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가
[eqn: x(t)= t^3 - 9t^2 + 24t]일 때, 점 [eqn: rmP]가 출발 후 처음으로 운동방향을 바꾸는 순간의 가속도는?

③

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

닫힌구간 [eqn: [-2,```2]]에서 함수 [eqn: f(x)=-x^3 + 3x^2 +9x-3]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

③

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

함수 [eqn: f(x)= x^2 - (a+b)x+ab]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [a,```b]]에서 롤의 정리를 만족시키는 상수 [eqn: c]의 값은?

④

① [eqn: - (a+b)over4]	② [eqn: a+b over4]	③ [eqn: a-b over2]

④ [eqn: a+b over2]	⑤ [eqn: b-a over2]

함수 [eqn: f(x)=2x^3 + 3(a+2)x^2 +3ax+3]이 [eqn: -3<x< -1]에서 극댓값을 갖고, [eqn: x>-1]에서 극솟값을 가질 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

④

① [eqn: -2<a<0]	② [eqn: -2<a< 2over5]	③ [eqn: -2<a< 4over5]

④ [eqn: -2<a< 6over5]	⑤ [eqn: -2<a< 8over5]

닫힌구간 [eqn: [0,```2]]에서 함수 [eqn: f(x)=-4x ^{3} +6ax ^{2} -2a ^{2}]의 최댓값을 [eqn: g(a)]라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a>0])

⑤

ㄱ. [eqn: g(1)=0]

ㄴ. 함수 [eqn: g(a)]는 연속함수이다.

ㄷ. 함수 [eqn: g(a)]는 [eqn: a=2]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: |`f(x)`|`=4]가 서로 다른 네 개의 실근을 가질 때, [eqn: f(5)]의 값은?

②

① [eqn: 218]	② [eqn: 220]	③ [eqn: 222]

④ [eqn: 224]	⑤ [eqn: 226]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: |`-x ^{3} +3x ^{2} +9x-3`|=n]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{15} a _{n}]의 값은?

①

① [eqn: 75]	② [eqn: 77]	③ [eqn: 79]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 83]

[eqn: f `prime (x)=6x ^{2} +4x+3], [eqn: f(0)=1]을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]는?

②

① [eqn: f(x)= 2x^3 + 2x^2 + 3x]

② [eqn: f(x) = 2x^3 + 2x^2 + 3x+1]

③ [eqn: f(x) = 2x^3 + 2x^2 + 3x+2]

④ [eqn: f(x) = 3x^3 +2x^2 + 3x+1]

⑤ [eqn: f(x) = 3x^3 + 2x^2 + 3x+2]

[eqn: int_0^2 (x+1)^3 dx + int_0^2 (x-1)^3 dx]의 값은?

④

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

다음은 밑면의 한 변의 길이가 [eqn: 2], 높이가 [eqn: 4]인 정사각뿔의 부피를 구분구적법을 이용하여 구하는 과정이다.

네 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: abd over c]의 값은?

그림과 같이 정사각뿔의 높이를 [eqn: n]등분하여 각 분점을 지나면서 밑면에 평행한 평면으로 정사각뿔을 자르면 [eqn: (n-1)]개의 정사각기둥을 만들 수 있다. 각 단면의 정사각형의 한 변의 길이는 위에서부터 차례대로

[eqn: a over n], [eqn: 2a over n], [eqn: cdots], [eqn: (n-1)a over n]

이고, 높이는 [eqn: b overn]이므로 [eqn: (n-1)]개의 정사각기둥의 부피의 합을 [eqn: V_n]이라고 하면

[eqn: V_n = sum_k=1^n-1 left( ak over n right)^2 b overn = c over n^3 sum_k=1^n-1 k^2]

따라서 구하는 정사각뿔의 부피 [eqn: V]는

[eqn: V= lim_n->inf V_n =d]

③

① [eqn: 4over3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 8over3]

④ [eqn: 10over3]	⑤ [eqn: 4]

곡선 [eqn: y = -x^2 + 2x+3]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

②

① [eqn: 20 over 3]	② [eqn: 32over3]	③ [eqn: 34over3]

④ [eqn: 40 over 3]	⑤ [eqn: 86over3]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대해 [eqn: F(x)]를 [eqn: f(x)]의 부정적분 중 하나라고 하자. [eqn: F(x)-2x = f'(x)f(x)], [eqn: f(-2)=f(2)]이 성립할 때, [eqn: f(0)]의 값은?

⑤

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: f(x)=6x^2 - mx]가 [eqn: lim_n->inf 2overn sum_k=1^n f left( 3k over n right) = f(0)]을 만족시킬 때, 상수 [eqn: m]의 값은?

①

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

직선 궤도를 [eqn: 30rmm/s]의 속도로 달리는 어느 자동차에 제동을 건 후 [eqn: t]초 후의 속도는 [eqn: v(t)=30-at( rm m/s)]이고, 제동을 건 지점으로부터 [eqn: 450rmm]를 미끄러져 간 후 완전히 정지하였다. 상수 [eqn: a]의 값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

곡선 [eqn: y= x^3 + 3] 위의 점 [eqn: (1,```4)]에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하면?

②

① [eqn: 23over4]	② [eqn: 27over4]	③ [eqn: 31over4]

④ [eqn: 35over4]	⑤ [eqn: 39over4]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int_0^x f(t)dt = x^3 - 3x^2 - 3x int_0^2 f(t)dt]일 때, [eqn: f(0)]의 값은?

⑤

① [eqn: - 12 over7]	② [eqn: - 6over7]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 6over7]	⑤ [eqn: 12over7]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(-1)=8],
[eqn: int _{0} ^{210} {} f(x)dx= int _{3} ^{210} {} f(x)dx]를 만족시킨다. 이때 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5over3]

서술형

함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f` prime (x)]는 이차함수이고 [eqn: y=f `prime (x)]의 그래프는 다음 그림과 같다. [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 1]일 때, [eqn: f(x)]의 극솟값을 구하시오.

[eqn: - {1} over {3}]

연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: int_1^4 f(x)dx]의 값을 구하시오.

[eqn: 4]

(가) 곡선 [eqn: y=f(x)]는 직선 [eqn: x=4]에 대하여 대칭이다.

(나) [eqn: int_-1^1 f(x)dx=4], [eqn: int_1^9 f(x)dx=12]

방정식 [eqn: x^3 + 16 =12x+a]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: a]값의 범위에 따라 조사하시오.

ⅰ) [eqn: a <0]일 때, [eqn: 1]개
ⅱ) [eqn: a = 0]일 때, [eqn: 2]개
ⅲ) [eqn: 0 <a<32]일 때, [eqn: 3]개
ⅳ) [eqn: a = 32]일 때, [eqn: 2]개
ⅴ) [eqn: a >32]일 때, [eqn: 1]개

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^4 + 4x+3 ge0]이 성립함을 보이는 과정을 쓰시오.

그래프

[2015년 가좌고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com